9. тетраэдр дан тетраэдр, периметры всех граней которого равны. площадь одной из граней этого тетраэдра равна 6. найдите наибольшую возможную площадь полной поверхности этого тетраэдра.
Задачка настолько мне понравилась, что я решил добавить решение. Кстати, возможно, тут что-то не так : Пусть стороны грани с площадью 6 равны a, b, c и пусть три остальных ребра равны x, y, z, Я обозначу (неизвестный) периметр всех граней P. Тогда a + b + c = P x + y + a = P x + z + b = P y + z + c = P Если сложить последние три равенства, то получится 2(x + y + z) + (a + b + c) = 3P или x + y + z = P :); откуда сразу следует, что z = a; y = b; x = c; получилось, что ребра, лежащие на скрещенных прямых, равны. То есть все грани имеют равные стороны, и, соответственно, равную площадь. Все четыре грани тетраэдра - одинаковые треугольники. Ну, теперь, если очень напрячься, можно сосчитать максимальную, минимальную и даже среднюю статистическую : площадь полной поверхности тетраэдра. 6х4 = 24
Пусть стороны грани с площадью 6 равны a, b, c
и пусть три остальных ребра равны x, y, z,
Я обозначу (неизвестный) периметр всех граней P.
Тогда
a + b + c = P
x + y + a = P
x + z + b = P
y + z + c = P
Если сложить последние три равенства, то получится
2(x + y + z) + (a + b + c) = 3P
или
x + y + z = P :);
откуда сразу следует, что z = a; y = b; x = c; получилось, что ребра, лежащие на скрещенных прямых, равны.
То есть все грани имеют равные стороны, и, соответственно, равную площадь. Все четыре грани тетраэдра - одинаковые треугольники.
Ну, теперь, если очень напрячься, можно сосчитать максимальную, минимальную и даже среднюю статистическую : площадь полной поверхности тетраэдра.
6х4 = 24