Докажите, что любая диагональ четырехугольника меньше половины его периметра

Пусть AC - диагональ четырехугольника ABCD. Тогда AC<AB+BC и AC<AD+DC. 
Сложив почленно эти неравенства, получим: 2AC<AB+BC+CD+DA. 
Отсюда следует, что AC<(AB+BC+CD+DA)/2.