Основанием пирамиды является ромб, острый угол которого равен 30°. все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если радиус окружности, вписанной в ее основание, равен 3 списанной в ее основание, равен 3 см.
Дан ромб с острым углом α = 30° и радиусом вписанной окружности r = 3 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом β = 60°.
В ромбе радиус вписанной окружности связан непосредственно со стороной через синус угла α. Сам радиус по определению представляет собой половину высоты ромба, которая равна стороне ромба, умноженной на синус угла α из образованного прямоугольного треугольника.
Высота в таком случае получается равна двум радиусам.
2r = a sinα.
Отсюда находим сторону а ромба и его периметр Р:
а = 2r/sinα = 2*3/0,5 = 12 см.
Р = 4а = 4*12 = 48 см.
Находим апофему А:
А = r/cos β = 3/cos 60° = 3/0,5 = 6 см.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*48*6 = 144 см².