Опишем окружность данного радиуса с центром О. Проведем в ней хорду АВ, равную заданной стороне. Пусть М –середина этой хорды. Проведем диаметр ТР через точки М и О (Т и Р лежат на окружности и Т –ближайшая к М). Все биссектрисы вписанных треугольников АВС из угла С проходят через точку Т-середину дуги АВ. Предположим, что построен искомый треугольник АВС с биссектрисой СК, продолжение которой проходит через Т. Биссектриса СК равна заданной L. Заметим, что треугольник РСТ подобен треугольнику ТМК (оба прямоугольные с общим углом Т). Значит ТК*ТС=ТМ*ТР. Но и треугольник ТВР подобен треугольнику ТВМ и ТВ*ТВ=ТМ*ТР. Значит ТК*ТС=ТВ*ТВ и это верно для любой точки С на дуге проходящей через АВР.
Теперь построение : ТВ нам известно (строится сразу). ТК*( L+ТК)=ТВ*ТВ. Значит ТК^2+2*(L/2)*TK+L^2/4=TB^2+L^2/4 TK=sqrt(TB^2+L^2/4)-L/2. ТС= sqrt(TB^2+L^2/4)+L/2. Таким образом, ТС строится элементарно : Строим прямоугольный треугольник с катетами ТВ и L/2 и его гипотенузу продолжаем на L/2. Зная ТС проводим окружность из Т радиуса ТС и пересечение ее с исходной окружностью даст точку С (и симметричную ей относительно ТР). Условия на Радиус, Хорду АВ и длину биссектрисы L, когда построения выполнимы, вполне очевидны.
Опишем окружность данного радиуса с центром О. Проведем в ней хорду АВ, равную заданной стороне. Пусть М –середина этой хорды. Проведем диаметр ТР через точки М и О (Т и Р лежат на окружности и Т –ближайшая к М). Все биссектрисы вписанных треугольников АВС из угла С проходят через точку Т-середину дуги АВ. Предположим, что построен искомый треугольник АВС с биссектрисой СК, продолжение которой проходит через Т. Биссектриса СК равна заданной L. Заметим, что треугольник РСТ подобен треугольнику ТМК (оба прямоугольные с общим углом Т). Значит ТК*ТС=ТМ*ТР. Но и треугольник ТВР подобен треугольнику ТВМ и ТВ*ТВ=ТМ*ТР. Значит ТК*ТС=ТВ*ТВ и это верно для любой точки С на дуге проходящей через АВР.
Теперь построение : ТВ нам известно (строится сразу). ТК*( L+ТК)=ТВ*ТВ. Значит ТК^2+2*(L/2)*TK+L^2/4=TB^2+L^2/4 TK=sqrt(TB^2+L^2/4)-L/2. ТС= sqrt(TB^2+L^2/4)+L/2. Таким образом, ТС строится элементарно : Строим прямоугольный треугольник с катетами ТВ и L/2 и его гипотенузу продолжаем на L/2. Зная ТС проводим окружность из Т радиуса ТС и пересечение ее с исходной окружностью даст точку С (и симметричную ей относительно ТР). Условия на Радиус, Хорду АВ и длину биссектрисы L, когда построения выполнимы, вполне очевидны.