Втреугольнике abc угол acb=120, ac=cb=a. серединные перпендикуляры к сторонам ac и cb пересекаются в точке m. найдите расстояние от точки m до середины стороны ab.

Расстояние от точки до прямой - длина перпендикулярного отрезка, проведенного между ними. 

В равнобедренном ∆ АСВ углы при А и В равны (180°-120°):2=30°

К и Е - середины АС и ВС соответственно. 

След. АК=КС=СЕ=ВЕ=а/2

КЕ║АВ  по свойству  средней линии.

∠СКЕ=∠СЕК=30° (соответственные углам А и В при пересечении параллельных КЕ и АВ секущими). 

В четырехугольнике СКМЕ углы при К и Е равны 90° ( МК и МЕ - перпендикуляры)

. Сумма углов четырехугольника 360°. ⇒ ∠КМЕ=360°-2•90°-120°=60°. 

∠ЕКМ=∠КЕМ=90°-30°=60°

∆ МЕК- равносторонний. 

Срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. ⇒ СМ - срединный перпендикуляр,  Н - середина АВ, и  АН=ВН, ⇒

СН - медиана и биссектриса ∆ АСВ. ∠НСВ=60°

СН противолежит углу 30° ⇒ СН=СВ:2=а/2

СЕ=а/2, СН=а/2 ⇒∆ НСЕ- равносторонний, НЕ=а/2. 

∠СМЕ=∠МЕН=30°

∆ МНЕ - равнобедренный. ⇒ МН⊥АВ, МН=ЕН=а/2. 

              * * * 

Или короче:

  Точка пересечения срединных перпендикуляров треугольника является центром описанной окружности.

МA=МC=МB - радиусы описанной окружности. .  

Треугольник АМВ - равнобедренный и равен ∆ АСВ по трём сторонам. Острые углы при А и В этих треугольников равны и имеют градусную меру (180°-120°):2=30°

Поскольку угол МНА=90°, то из прямоугольного ∆ АНМ катет НМ=АМ•sin30°=a/2 (или, если больше нравится, то по свойству катета, противолежащего углу 30°, он равен половине гипотенузы АМ - равен а/2)