Впрямоугольном треугольнике высота проведенная к гипотенузе и биссектриса прямого угла соответственно равны √5 и √6. найдите площадь этого треугольника.
Тут есть "хитрый ход". Пусть биссектриса l = √6; высота h = √5; площадь S, катеты a и b, гипотенуза c. Площади двух треугольников, на которые биссектриса делит весь треугольник, можно записать, как l*a*sin(45°)/2 и l*b*sin(45°)/2; и в сумме это будет S; я сразу перепишу это вот так a + b = (S/l)*(4/√2); кроме того, очевидно, что площадь равна S = c*h/2; или √(a^2 + b^2) = 2*(S/h); Вот теперь следует "хитрый ход". :) Если возвести эти уравнения в квадрат, получится a^2 + b^2 +2*a*b = 8*(S/l)^2; a^2 + b^2 = 4*(S/h)^2; Но a*b/2 = S; :) благодаря чему получается 4*(S/h)^2 + 4*S = 8*(S/l)^2; или 1 = S*(2/l^2 - 1/h^2); если подставить значения, получится S = 15/2;
Площади двух треугольников, на которые биссектриса делит весь треугольник, можно записать, как l*a*sin(45°)/2 и l*b*sin(45°)/2; и в сумме это будет S; я сразу перепишу это вот так
a + b = (S/l)*(4/√2);
кроме того, очевидно, что площадь равна S = c*h/2; или
√(a^2 + b^2) = 2*(S/h);
Вот теперь следует "хитрый ход". :) Если возвести эти уравнения в квадрат, получится
a^2 + b^2 +2*a*b = 8*(S/l)^2;
a^2 + b^2 = 4*(S/h)^2;
Но a*b/2 = S; :) благодаря чему получается
4*(S/h)^2 + 4*S = 8*(S/l)^2; или
1 = S*(2/l^2 - 1/h^2);
если подставить значения, получится S = 15/2;