№35: найдите острый угол, если отношение периметра ромба к сумме диагоналей равно . а) б) в) г) д)

Ответ:

Ghannik08

05.10.2020 21:28

Пусть а - сторона ромба ABCD, α - искомый острый угол. Диагонали ромба AC и BD делят его на 4 равных треугольника. Рассмотрим треугольник ВОС: угол ВОС=α/2, так как диагонали ромба являются биссектрисами углов. Выражаем катеты через тригонометрические функции и гипотенузу - сторону ромба, обозначенную за а:
$BO=a\cos\frac{ \alpha }{2} \\\ CO=a\sin\frac{ \alpha }{2}$
Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, то сами диагонали будут равны $2a\cos \frac{\alpha }{2}$ и $2a\sin \frac{\alpha }{2}$ . Периметр ромба равен

.
Составляем заданное отношение:
$\dfrac{4a}{2a\sin \frac{ \alpha }{2} +2a\cos \frac{ \alpha }{2} } = \sqrt{3} 
\\\
 \dfrac{2}{\sin \frac{ \alpha }{2}+\cos \frac{ \alpha }{2}} = \sqrt{3} 
\\\
\sin \frac{ \alpha }{2}+\cos \frac{ \alpha }{2}= \frac{2}{ \sqrt{3} } 
\\\
\sin^2 \frac{ \alpha }{2}+\cos^2 \frac{ \alpha }{2}+2\sin \frac{ \alpha }{2}\cos \frac{ \alpha }{2}=(\frac{2}{ \sqrt{3} } )^2
\\\
1+\sin \alpha = \frac{4}{ 3 } 
\\\
\sin \alpha = \frac{1}{ 3 } 
\\\
\alpha=\arcsin \frac{1}{ 3 }$
ответ: arcsin(1/3)

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия