Задача. Построить треугольник ABC с данным острым углом B, в котором AB : BC = 3 : 2 и высота CD равна данному отрезку PQ. Решение. На сторонах данного угла B отложим отрезки BA1 и BC1, равные соответственно 3PQ и 2PQ (рис. 114, а). Треугольник A1BC1 подобен искомому по первому признаку подобия треугольников. Если его высота C1D1 равна PQ, то треугольник A1BC1 — искомый. Построение по подобию
Пусть C1D1 ≠ PQ. Искомая точка C находится от прямой BA1 на расстоянии, равном PQ, т. е. принадлежит множеству точек, удаленных от прямой BA1 на расстояние, равное PQ. Следовательно, точка C лежит на прямой, параллельной BA1 и удаленной от неё на расстояние, равное PQ. Построим эту прямую (прямая a на рисунке 114, б) и обозначим буквой C точку ее пересечения с прямой BC1. Через точку C проведем прямую, параллельную A1C1 и пересекающую прямую BA1 в некоторой точке A. Треугольник ABC искомый. В самом деле, угол B у него данный, высота CD равна PQ, а так как AC || A1C1, то треугольники ABC и A1BC1 подобны (докажите это), поэтому AB : A1B = BC : BC1 и, следовательно,
Решение. На сторонах данного угла B отложим отрезки BA1 и BC1, равные соответственно 3PQ и 2PQ (рис. 114, а). Треугольник A1BC1 подобен искомому по первому признаку подобия треугольников. Если его высота C1D1 равна PQ, то треугольник A1BC1 — искомый.
Построение по подобию
Пусть C1D1 ≠ PQ. Искомая точка C находится от прямой BA1 на расстоянии, равном PQ, т. е. принадлежит множеству точек, удаленных от прямой BA1 на расстояние, равное PQ. Следовательно, точка C лежит на прямой, параллельной BA1 и удаленной от неё на расстояние, равное PQ. Построим эту прямую (прямая a на рисунке 114, б) и обозначим буквой C точку ее пересечения с прямой BC1.
Через точку C проведем прямую, параллельную A1C1 и пересекающую прямую BA1 в некоторой точке A. Треугольник ABC искомый.
В самом деле, угол B у него данный, высота CD равна PQ, а так как AC || A1C1, то треугольники ABC и A1BC1 подобны (докажите это), поэтому AB : A1B = BC : BC1 и, следовательно,
AB : BC = A1B : BC1 = 3 : 2.