Примем длину ребра 4. Тогда АК = 1. Найдём длину отрезка ВК по теореме косинусов: ВК = √(1²+4²-2*1*4*cos60°) = √(1+16-2*1*4*0.5) = √13. Проведём высоту основания ВТ. Она равна 4*cos30° = 4*(√3/2) = 2√3. Для получения линейного угла между прямой МО и плоскостью МВК проведём секущую плоскость через МО перпендикулярно ВК. В основании получим прямую, пересекающую ВК в точке Е. Треугольник КВТ подобен треугольнику ОЕВ по прямому и общему углу КВТ. Синус угла КВТ (назовём его β) равен: sin β = KT/BK = 1/(√13). Отрезок ОВ = (2/3)*(2√3) = 4√3/3. ОЕ = ОВ*sin β = (4√3/3))*(1/(√13)) = 4√3/(3√13) ≈ 0,640513. Высота Н правильного тетраэдра равна а*√(2/3), где а - ребро. Н = 4*√(2/3) = 4√2/√3. Искомый угол МЕО равен: <MEO = arc tg(MO/OE) = arc tg(4√2/√3)/(4√3/(3√13)) = arc tg√13 = = arc tg 3.605551 = 1,300247 радиан = 74,49864°.
Тогда АК = 1.
Найдём длину отрезка ВК по теореме косинусов:
ВК = √(1²+4²-2*1*4*cos60°) = √(1+16-2*1*4*0.5) = √13.
Проведём высоту основания ВТ.
Она равна 4*cos30° = 4*(√3/2) = 2√3.
Для получения линейного угла между прямой МО и плоскостью МВК проведём секущую плоскость через МО перпендикулярно ВК.
В основании получим прямую, пересекающую ВК в точке Е.
Треугольник КВТ подобен треугольнику ОЕВ по прямому и общему углу КВТ.
Синус угла КВТ (назовём его β) равен:
sin β = KT/BK = 1/(√13).
Отрезок ОВ = (2/3)*(2√3) = 4√3/3.
ОЕ = ОВ*sin β = (4√3/3))*(1/(√13)) = 4√3/(3√13) ≈ 0,640513.
Высота Н правильного тетраэдра равна а*√(2/3), где а - ребро.
Н = 4*√(2/3) = 4√2/√3.
Искомый угол МЕО равен:
<MEO = arc tg(MO/OE) = arc tg(4√2/√3)/(4√3/(3√13)) = arc tg√13 =
= arc tg 3.605551 = 1,300247 радиан = 74,49864°.