Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из сторон на отрезки, равные 6 и 4, а угол равен 60. найдите периметр треугольника.

Центр вписанной окружности в треугольник находится на пересечении биссектрис его углов.
Так как в задании не сказано, какой отрезок основания примыкает к углу А, то ответов будет 2.

1) Пусть к углу А примыкает отрезок 4 см.
Радиус r = 4*tg30 = 4*(1/√3)
(1/2)<C = arc tg(r/6) = arc tg(4*(1/√3*6) = arc tg (2/(3√3).
tg (2/(3√3) ≈  0.3849.
<(C/2) =  0.367422 радиан = 21.05172°. 
<C = 2*21.05172 =  42.10345°.
<B = 180-60-<C =  77.89655°.
AB = AC*sin C/sin B = 10* 0.670471/ 0.977771 =  6.857143 см.
ВС =  AC*sin А/sin B = 10*√3/(2*0.977771 ) =  8.857143 см.

2) Пусть к углу А примыкает отрезок 6 см.
Радиус r = 6*tg30 = 6*(1/√3)
(1/2)<C = arc tg(r/4) = arc tg(6*(1/√3*4) = arc tg (3/(2√3).
tg (3/(2√3) ≈  0.3849.
<(C/2) =    0.713724 радиан =  40.89339°.  
<C = 2*40.89339° =   81.78679°.
<B = 180-60-<C =   38.21321°.
AB = AC*sin C/sin B = 10*  0.989743/  0.61859 =  16 см.
ВС =  AC*sin А/sin B = 10*√3/(2* 0.61859 ) =  14 см.