Может ли быть, что ad и ck -  биссектрисы треугольника abc и ak: kb=1: 2, bd : dc=3: 4?

Биссектриса делит сторону, к которой она проведена, на отрезки пропорциональные сторонам своего угла.
Значит в вашем треугольнике АС: АВ = 4:3, а АС: ВС = 1:2. То есть AB:CB = 3:8.
Треугольников с отношением сторон 3:4:8 не бывает, потому что нарушается принцип неравенства треугольника: 3 + 4 < 8