Вправильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 все рёбра равны 4. на ребре aa1 взята точка m так, что am=1. на ребре bb1 взята точка k так, что b1k=1. найдите угол между плоскостью d1mk и плоскостью cc1d1
Пусть A - начало координат, а оси х, у, z пустим вдоль векторов AD, AB, AA₁ соответственно. Вектор AD=(4,0,0) - перпендикулярен к плоскости CC₁D₁. Плоскость D₁MK параллельна векторам MD₁=(4,0,3) и MK=(0,4,2), значит векторное произведение n=MD₁×MK=(-12,-8,16) перпендикулярно плоскости D₁MK. Косинус угла между плоскостями CC₁D₁ и D₁MK равен cos(AD,n)=(AD,n)/(|AD|·|n|)=-12·4/(4·4√(9+4+16))=-3/√29. Значит острый угол между плоскостями равен arccos(3/√29).
Вектор AD=(4,0,0) - перпендикулярен к плоскости CC₁D₁.
Плоскость D₁MK параллельна векторам
MD₁=(4,0,3) и MK=(0,4,2), значит векторное произведение
n=MD₁×MK=(-12,-8,16) перпендикулярно плоскости D₁MK.
Косинус угла между плоскостями CC₁D₁ и D₁MK равен
cos(AD,n)=(AD,n)/(|AD|·|n|)=-12·4/(4·4√(9+4+16))=-3/√29.
Значит острый угол между плоскостями равен arccos(3/√29).