Углы при одном из оснований трапеции равны 37 гр. и 53 гр., а отрезки , соединяющие середины противоположных сторон , равны 21 и 12. найдите основания трапеции.

В трапеции АВСД КР - отрезок, соединяющий середины оснований, МН - средняя линия., КР=12, МН=21, ∠А=53°, ∠Д=37°.
Одно из свойств трапеции гласит, что продолжения боковых сторон и линия, соединяющая середины оснований пересекаются в одной точке. В нашем случае это точка Е. 
В тр-ке АЕД ∠Е=180-∠А-∠Д=180-37-53=90°. 
В прямоугольном тр-ке АЕД ЕР - медиана. ЕР=АД/2.
Пусть ЕК=х, АД=а, ВС=в.
ЕР=ЕК+КР=х+12.
ЕР=АД/2,
х+12=а/2 ⇒ х=(а/2)-12   (1).
(а+в)/2=21 ⇒ в=42-а   (2).
В тр-ке ВЕС ВК - медиана. ЕК=ВК/2,
х=в/2, объёдиним это с уравнением (1):
в/2=(а/2)-12, подставим уравнение (2):
(42-а)/2=(а/2)-12,
21-(а/2)=(а/2)-12,
а=33,
в=42-а=42-33=9.
ответ: основания трапеции равны 33 и 9.