Знайдіть бісектрису трикутника, яка поділяє його сторону на відрізки 3 см і 4 см та утворює з цією стороною кут, що дорівнює 60.

Маємо ΔABC, BD -- бісектриса, AD = 3 см, CD = 4 см, <ADB = 60°.
За властивістю бісектриси: AB/BC = 3/4.
Отже, можемо позначити: AB = 3x, BC = 4x.
Запишемо теорему косинусів для ΔABD і ΔCBD:
(3x)² = 3² + BD² - 2·3·BD·cos 60°
(4x)² = 4² + BD² - 2·4·BD·cos (180° - 60°)

9x² = 9 + BD² - 2·3·BD·cos 60°
16x² = 16 + BD² + 2·4·BD·cos 60°

9x² = 9 + BD² - 3·BD
16x² = 16 + BD² + 4·BD

9x² = 9 + BD² - 3·BD
7x² = 7 + 7·BD

x² = 1 + BD
9·(1 + BD) = 9 + BD² - 3·BD

9 + 9·BD = 9 + BD² - 3·BD
9·BD = BD² - 3·BD
BD² - 12·BD = 0
BD·(BD - 12) = 0
BD = 0, BD = 12

Оскільки довжина бісектриси повинна бути додатною, BD = 12 см.