Если диагонали трапеции перпендикулярны, обязательно ли она равнобокая? если нет, то какие свойства это дает?

Не обязательно. Смотри рисунок. Что касается свойств, то надо конкретную задачу. Как пример, в такой трапеции средняя линия равна длине отрезка соединяющего середины оснований.