Площадь равнобокой трапеции равна 36 sqrt(2) см^2, а острый угол - 45 градусов. найдите высоту трапеции, если полусумма её боковых сторон равна средней линии.

Обозначим нижнее основание - а; верхнее основание - в; боковая сторона - с.
Площадь трапеции - (а+в)*h/2;
по условию - (а+в)/2= (с+с)/2=с;
площадь - с*h;
Из треугольника АВН АН=ВН - треугольник равнобедренный, углы А и В - 45°, АН=(а-в)/2=h, тогда с= (а-в)/2√2;
Площадь - (а-в)/2√2*(а-в)/2=36√2;
(а-в)²=144
(а-в)=12;
h=(а-в)/2=12/2=6 см.

АВСД - трапеция, ВМ и СК - высоты на основания АД.
Прямоугольные тр-ки АВМ и СДК равнобедренные с острыми углами 45°. пусть боковые стороны этих тр-ков равны х, тогда АВ=СД=х√2.
По условию полусуммы оснований и боковых сторон равны, значит их суммы равны. АВ+СД=АД+ВС,
2х√2=2х+2ВС,
ВС=х√2-х.
Также (АД+ВС)·ВМ/2=S,
(2х+2ВС)·х/2=36√2,
(2х+2х√2-2х)·х=72√2,
2х²√2=72√2,
х²=36,
ВМ=х=6 см - это ответ.