Внутри прямоугольного треугольника выбрана точка о, которая удалена от каждой его стороны на расстояние равное 3 см. перпендикуляр проведённый из точки о к гипотенузе делит это гипотенузы на отрезке 5 см и 12 см. определите катеты этого треугольника

Точка О - центр вписанной в треугольник окружности, а расстояние до каждой стороны - это её радиус. 
Гипотенуза делится точкой касания на отрезки а и х. r=3 см, а=5 см, х=12 см. Найти катеты.
Касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны. Соответственно катеты тр-ка равны а+r и х+r.
Катеты равны 5+3=8 см и 12+3=15 см - это ответ.