Дана треугольная призма abca1b1c1. найти в каком отношении делит объём призмы секущая плоскость, пересекающая рёбра a1b1, b1c1, bc соответственно в точках m, n, k, если b1m: a1b1=1: 2; b1n: b1c1=2: 3; bk: cb=1: 3.
Пусть АВ=А1В1=х, ВС=В1С1=у, ВВ1=h, ∠В=∠В1=α. По условию В1М=х/2, В1N=2у/3, ВК=у/3. Тр-ки В1МN и BНK подобны так как соответственные стороны параллельны и ∠В=∠В1. Их коэффициент подобия: k=В1N/ВК=(2у/3):(у/3)=2. Соответственно коэффициент подобия их площадей k²=4. S1=S(В1МN)=(1/2)·(х/2)·(2у/3)·sinα=xy·sinα/6. S2=S(BHK)=S(B1MN)/k²=xy·sinα/24. Объём усечённой пирамиды: V=h(S1+√(S1·S2)+S2)/3. Объём пирамиды ВНКВ1MN: V1=h[(xy·sinα/6)+(xy·sinα/12)+(xy·sinα/24)]/3=7xyh·sinα/72. Объём призмы АВСА1В1С1: V2=xyh·sinα/2. Объём многогранника АСКНА1С1NM: V3=V2-V1=(xyh·sinα/2)-(7xyh·sinα/72)=29xyh·sinα/72. V1:V3=7:29 - это ответ.
По условию В1М=х/2, В1N=2у/3, ВК=у/3.
Тр-ки В1МN и BНK подобны так как соответственные стороны параллельны и ∠В=∠В1. Их коэффициент подобия: k=В1N/ВК=(2у/3):(у/3)=2. Соответственно коэффициент подобия их площадей k²=4.
S1=S(В1МN)=(1/2)·(х/2)·(2у/3)·sinα=xy·sinα/6.
S2=S(BHK)=S(B1MN)/k²=xy·sinα/24.
Объём усечённой пирамиды: V=h(S1+√(S1·S2)+S2)/3.
Объём пирамиды ВНКВ1MN:
V1=h[(xy·sinα/6)+(xy·sinα/12)+(xy·sinα/24)]/3=7xyh·sinα/72.
Объём призмы АВСА1В1С1:
V2=xyh·sinα/2.
Объём многогранника АСКНА1С1NM:
V3=V2-V1=(xyh·sinα/2)-(7xyh·sinα/72)=29xyh·sinα/72.
V1:V3=7:29 - это ответ.