Вравнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь 540, можно вписать окружность. найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания.

Трапеция - четырехугольник. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. 

 Сумма длин боковых сторон данной трапеции равна сумме оснований и равна ее полупериметру. 

ВС+АД=АВ+СД=120:2=60

Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований ( среднюю линию)

Средняя линия равна (АД+ВС):2=30

ВН и СК - высоты трапеции. 

Высоту ВН трапеции найдем, разделив площадь на полусумму оснований 

ВН= 540*30=18

Трапеция равнобедренная ⇒ АН=КД

Из прямоугольного треугольника АВН найдем АН:

АН=√(30²-18²)=24

ВС+НК+АН+КД=60

ВС=НК; АН=ДК

2 ВС+2*24=60

2 ВС=12

ВС=6

Треугольники, образованные диагоналями и основаниями, подобны. 

Сумма их высот равна высоте трапеции =18 

Пусть высота меньшего х, высота большего - 18-х

Тогда ВС:АД=х:(18-х)

6:(6+48)=х:(18-х) 

Решив пропорцию, получим высоту меньшего треугольника 1,8. 

Это и есть искомое расстояние.