Катет прямоугольного треугольника равен 12 см, а его проекция на гипотенузу - 8 см. найдите площадь треугольника.

Пусть АВ и АС - катеты треугольника, ВС - гипотенуза. АК - перпендикуляр к гипотенузе.
АВ = 12 см, КВ = 8 см

1. Из подобия треугольников АВС и КВА следует:
КВ/АВ = АВ/ВС
ВС = АВ² : КВ = 144: 8 = 18 (см)

2. АВ² + АС² = ВС² - (по теореме Пифагора)
АС = √(ВС² - АВ²) = √(324 - 144) = √180 = 6√5 (см)

3. S = 1/2 ab
S = 1/2 АВ · АС = (12·6√5)/2 = 36√5 (см²)

ответ. 36√5 см²