Докажите, что стороны равностороннего треугольника касаются окружностей, проведенных с центрами в его вершинах и радиусами, равными любой из его биссектрис ! с рисунком

В равностороннем треугольнике все его биссектрисы равны и являются еще и медианами и высотами. Рассмотрим рисунок. 

∆ АВС - равносторонний. 

ВН - биссектриса и высота ⇒ ВН⊥АС. 

ВН - радиус опружности с центром В по условию.

 ВН перпендикулярен прямой АС, отрезок ВН - кратчайшее расстояние от центра В до прямой АС. ⇒

 Н - единственная  общая точка окружности и АС, следовательно, сторона АС  ∆ АВС- касается  данной окружности.

Аналогично доказывается нужное в отношении других сторон.