Надо решить : дан куб abcda1b1c1d1. точки k, l, m, n -середины ребер b1c1, c1d1, bc, a1b1 соответсвенно. будет ли прямая аа1 параллельна плоскости: а) всс1; б)вdd1; c)bdc1; d)klm; e)ckn; f)lmn.

a) АА₁║(ВСС₁)

b) AA₁║(BDD₁)

c) AA₁ ∩ (BDC₁)

d) AA₁║(KLM)

e) AA₁ ∩ (CNK)

f) AA₁ ∩ (LMN)

Объяснение:

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости.

а) АА₁║ВВ₁, ВВ₁║СС₁ как противоположные стороны квадрата,

значит АА₁║СС₁.

СС₁ ⊂ (ВСС₁), ⇒ АА₁║(ВСС₁).

b) АА₁║ВВ₁, ВВ₁ ⊂ (BDD₁), ⇒ AA₁║(BDD₁)   (рис. 1)

c) Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

АА₁║ВВ₁, ВВ₁ ∩ (BDC₁),  ⇒  AA₁ ∩ (BDC₁)  (рис. 1)

d) Точки К и М - середины равных параллельных ребер В₁С₁ и ВС, значит В₁К║ВМ и В₁К = ВМ, ∠В₁ВК = 90°, значит ВВ₁КМ - прямоугольник, тогда ВВ₁║КМ.

АА₁║ВВ₁, ВВ₁║КМ, ⇒ АА₁║КМ,

КМ ⊂ (KLM), ⇒ AA₁║(KLM)  (рис. 2)

e) Параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым.

AA₁ ∩ (CNK)  (рис. 2)

f) ВВ₁ ∩ (LMN), AA₁║BB₁, ⇒  AA₁ ∩ (LMN)(рис. 1)