Войти Регистрация Спроси ai-bota

Нужно пошаговое решение! доказать, что во всяком треугольнике abc между его площадью s и радиусами вписанной и описанной окружности существует соотношение

Ответ:

HuKuTKa228

19.08.2020 13:01

Для любого треугольника справедливы формулы
(a,b,c - стороны, р - полупериметр)

$S=\frac{a+b+c}{2}r=pr$
$S=\frac{abc}{4R}$
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
отсюда

$r^3R=\frac{S^3}{p^3}*\frac{abc}{4S}=\frac{S^2abc}{4p^3}$
$\frac{S^2}{4}=r3R\frac{p^3}{abc}$

Докажем что для любой стороны треугольника справедливо
полупериметр больше любой стороны
pa; pb; pc

pa; pb; pc

не ограничивая общности пусть
$a \leq b \leq c$
по неравенству треугольника

откуда

c+c

$a \leq b \leq c$
доказано

значит $\frac{p}{a}1$
$\frac{p}{b}1$
$\frac{p}{c}1$

а значит $\frac{S^2}{4}=r^3R*\frac{p^3}{abc}=\\\\r^3R*\frac{p}{a}*\frac{p}{b}*\frac{p}{c}r^3R$
что равносильно неравенству $S2\sqrt{r^3R}$
Доказано

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия

Gamaun

28.12.2022 02:59

Площадь параллелограмма равна 16см*2, а две его стороны равны 4см и 8 см найдите его высоты . в ответе укажите большую высоту !!...

Varya1111111111113

23.08.2022 17:22

Найди третью сторону прямоугольного треугольника....

елена1180

18.12.2020 11:40

1.Знайдіть сторону АС трикутника АВС, якщо АВ = 7 см, ВС = 13 см. ZA = 120°. 2. Основа і бічна сторона рівнобедреного трикутника відносяться як 6 : 5. Знайдіть радіус описаного кола,...

шогвшвгвшр

25.01.2022 10:02

у рівнобедренному трикутнику середня лінія яка паралелня до основи дорівнює 4см а бічна сторона дорівнює 5см визначте периметр трикутника...

delmak

28.05.2020 03:54

Знайдить кути параллелограмма,якщо сума двох його кутив 174 градуса...

sgerbst

26.09.2022 20:01

№1.в равнобедренном треуг. высоты,проведенные к основанию и боковой стороне,равны соответственно 5 см и 6 см.найдите длину боковой стороны. №2.диагональ равнобедренной трапеции делит...

zhenyafedorisch

02.01.2022 13:03

с геометрией Найдите радиусы, вписанной и описанной окружности около треугольника со сторонами 3см, 25см и 26см....

elinakosogor30

27.12.2022 16:39

РЕШИТЬ КАК В 8 КЛАССЕ БУДЕТ ЛУЧШЕ ЕСЛИ НАПИШИТЕ ВСЁ НА КАРТИНКЕ...

kavuzov01karamba73

19.07.2022 23:29

У трапеції ABCD (BC || AD) відомо, що AD = 18 см, ВС = 14 см,AC=24 см. Знайдіть відрізки, на які точка перетину діагоналей ділить діагональ АС? ...

Qwizzi

05.10.2021 07:29

Луч CP является биссектрисой угла ACB,отрезки AC и CB равны. Докажите равенство треугольника ACP и треугольника BCP...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку