Основанием пирамиды является треугольник с острым углом α и гипотенузой с.боковое ребро,которое проходит через вершину острого угла,перпендикулярно до плоскости основания,боковая грань,которая содержит катет, который лежит напротив острого угла ,наклонена к плоскости основания под углом β.найти площадь боковой поверхности пирамиды

Один катет    с·сosα, второй катет   с·sinα
Высота пирамиды  с·cosα·tgβ

По теореме Пифагора (Δ КСВ- прямоугольный, АС ⊥СВ, наклонная КС⊥СВ по теореме о трех перпендикулярах)

КС²= АС²+АК²=(с·сosα)²+(c·cosα·tgβ)²=c²cos²α·(1+tg²β)=c²cos²α/cos²β

S ( бок) = S(Δ АСК) + S (Δ ABK) + S(Δ KCB)= AC· AK/2  +  AB·AK/2  + BC· KC/2=

Пусть PABC пирамида ,где P - вершина пирамиды , PA  ⊥(ABC) ,∠С =90° ,
AB =c , ∠BAC =∠A =α , ∠PCA =β.

S =S бок - ? 
PA  ⊥ (ABC)  , PC -  наклонная , AC - ее  проекция.   CB ⊥ AC  ⇒  CB ⊥ PC  ( теорема о трех перпендикуляров) . ∠PCA будет линейный  угол  двугранного угла между (PCB) и (ACB) .
S=S(PAC) +S(PAB) +S(PCB) =AC*PA/2 + AB*PA/2 +CB*PC/2.
AC =AB*cos∠A = c*cosα ; CB =c*sinα ;
PA =AC*tqβ =c*cosα*tqβ ; PC =AC/cosβ =c*cosα/cosβ.
S= (c²cosα/2)* (tqβ(cosα +1) + sinα/cosβ) .