Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен хорде.

Если соединить центр окружности с концами хорды, то получится равнобедренный треугольник в котором на том самом  диаметре  лежит медиана к основанию.
Т.к. эта медиана совпадает с высотой, то диаметр перпендикулярен хорде.