Вравнобедренном треугольнике abc длина боковых сторон ad и bc относится к длине основания ac как 5: 6 .найти длину высоты ad , если расстояния от некоторой точи m треугольника acd до его стороны ac, ad и cd соответственно равны 9, 9, и 3

Опустим из В высоту на АС.
В  прямоугольном тр-ке ВСН отношение катета НС к гипотенузе ВС=3:5.  ⇒ тр-к ВНС - египетский, и НС:ВН:ВС=3:4:5. ( можно проверить т.Пифагора) 
Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикулярного к ней отрезка. 
Так как расстояние от М до сторон АD и АС одинаково, то по свойству биссектрисы угла точка М лежит на биссектрисе угла DАС и является центром вписанной в этот угол окружности с радиусом МТ=МЕ=9. 
Нарисуем эту окружность.
Проведем радиус МР как продолжение перпендикуляра из М к DС. Проведем через Р касательную ОК.
ОК||МТ⇒  OK|| DC, треугольник АОК - прямоугольный и подобен треугольнику АDС. 
В то же время тр-к АDС подобен треугольнику ВНС - оба прямоугольные с общим углом С. ⇒
Треугольник АОК - подобен тр-ку ВНС и ОК:АО:АК=3:4:5
 Пусть коэффициент этого отношения будет х. 
Тогда  ОК=3х, АО=4х, АК=5х 
ОР=ТМ=ТО=МР=R=9 
Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности 
r=(а+b-c):2 , где  a и b- катеты, с - гипотенуза. 
18=3х+4х-5х ⇒
 х=9 
АО=4*9=36 
В треугольнике АОК  отрезок ДО=ТО-ТД=9-3=6 
АD=36-6=30