Биссектрисы углов a и в параллелограмма abcd пересекаются в точке k. найдите площадь параллелограмма, если bc=2, а расстояние от точки k до стороны ab равно 1.
Тут всего лишь тригонометрическая "шутка". Треугольник ABK - прямоугольный, потому что AK и BK - биссектрисы углов, которые в сумме составляют 180°. Сумма половин углов A и B параллелограмма равна 90°, значит и ∠BKA равен 90°. Если M - проекция K на AB, то треугольник MBK подобен треугольнику ABK - это прямоугольные треугольники с общим углом. Если обозначить ∠BAD = α; то ∠BAK =∠MKB = α/2; отсюда легко найти BK = AB*sin(α/2); MK = BK*cos(α/2) = AB*sin(α/2)*cos(α/2) = AB*sin(α)/2; Но AB*sin(α) = H; - высота параллелограмма к стороне BC. Поэтому H = 2*MK; Площадь S = H*BC = 2*MK*BC = 4;
S =S(ABCD) -, S =S(ABCD) = BC *EF * * * EF ⊥ BC и проходит через точку K * * * S =BC *(KE+KF) ,но KE=KM и KF = KM (свойство биссектриса угла_каждая ее точка равноудалена от сторон угла). S =BC *2KМ =2*2*1 =4 .
Треугольник ABK - прямоугольный, потому что AK и BK - биссектрисы углов, которые в сумме составляют 180°. Сумма половин углов A и B параллелограмма равна 90°, значит и ∠BKA равен 90°.
Если M - проекция K на AB, то треугольник MBK подобен треугольнику ABK - это прямоугольные треугольники с общим углом.
Если обозначить ∠BAD = α; то ∠BAK =∠MKB = α/2;
отсюда легко найти
BK = AB*sin(α/2); MK = BK*cos(α/2) = AB*sin(α/2)*cos(α/2) = AB*sin(α)/2;
Но AB*sin(α) = H; - высота параллелограмма к стороне BC.
Поэтому H = 2*MK;
Площадь S = H*BC = 2*MK*BC = 4;
S =S(ABCD) -,
S =S(ABCD) = BC *EF * * * EF ⊥ BC и проходит через точку K * * *
S =BC *(KE+KF) ,но KE=KM и KF = KM (свойство биссектриса угла_каждая ее точка равноудалена от сторон угла).
S =BC *2KМ =2*2*1 =4 .