30 ! в остроугольном треугольнике авс из вершин а и с опущены высоты ap и cq на стороны bc и ab. а) докажите, что углы bpq и bac равны. б) известно, что площадь треугольника abc равна 96, площадь четырехугольника aqpc равна 72, а радиус окружности, описанной около треугольника abc, равен 16/√3. найдите pq.

А) Прямоугольные ΔСQB и ΔAPB подобны по острому углу (угол В-общий)
СQ/AP=QB/PB=ВС/АВ
Откуда QB/ВС=РВ/АВ
Значит ΔАВС и ΔРВQ подобны по 2 пропорциональным сторонам (QB/ВС=РВ/АВ) и углу между ними (угол В-общий). Т.к. у подобных треугольников углы равны, то <BPQ=<BAC, ч.т.д.
б) Sавс=96, Sаqрс=72, значит Sрвq=Sавс-Sаqрс=96-72=24
Отношение площадей 2 подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: Sрвq/Sавс=24/96=1/4
Значит QB/ВС=РВ/АВ=PQ/AC=1/2 
Из прямоугольного Δ СQB QB/ВС=сos B, cos B=1/2, значит <B=60°
Ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен:
R=AC/2sin B
AC=2R*sin 60= 2*16/√3*√3/2=16
PQ=AC/2=16/2=8