Высота ан и медиана ам треугольника авс делят угол вас на три равные части, причем точка н лежит между точками в и м. из точки м опущен перпендикуляр мк на стороне ас. а) докажите, что мк=вн. б) найдите углы треугольника авс.
Треугольник АВМ равнобедренный, так как АН - его высота и биссектриса. Значит АН - медиана и ВН=МН (по свойству равнобедренного треугольника). АМ - биссектриса угла НАС, следовательно точка М равноудалена от сторон этого угла, то есть перпендикуляры МН и МК равны. Итак, ВН=МН и МН=МК. Значит МК=ВН, что и требовалось доказать. б) Точка М - медиана. Следовательно, в прямоугольном треугольнике МКС гипотенуза МС=ВМ=2*ВН=2*МК и угол С=30°. <KMC=60°, <HMK=180°-60°=120°. Но <НМК=2*<ABC. Отсюда <ABC=60°. тогда <A=180°-60°-30°=90° ответ: в треугольнике АВС <A=90°, <В=60° и <C=30°.
АМ - биссектриса угла НАС, следовательно точка М равноудалена от сторон этого угла, то есть перпендикуляры МН и МК равны.
Итак, ВН=МН и МН=МК. Значит МК=ВН, что и требовалось доказать.
б) Точка М - медиана. Следовательно, в прямоугольном треугольнике МКС гипотенуза МС=ВМ=2*ВН=2*МК и угол С=30°. <KMC=60°, <HMK=180°-60°=120°. Но <НМК=2*<ABC. Отсюда
<ABC=60°. тогда <A=180°-60°-30°=90°
ответ: в треугольнике АВС <A=90°, <В=60° и <C=30°.