Так ка любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла, то нетрудно понять, что точка К равноудалена от вс и аd. Обозначим эти перпендикуляры из к на вс, как кх, а на аd, как ку. Как было отмечено, кх=ку. А значи и треугольник кхв равен тругольнику куа ( один угол у каждого прямой, а другой вертикальный). Тогда и ка=кв, что и требовалось.
Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Действительно, если DK биссектриса, то углы АDК и СDК равны. Но угол СDК равен углу АКD как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых. Следовательно, треугольник DАК - равнобедренный. АD=АК. На том же основании треугольник СВК равнобедренный и ВС=ВК. Но ВС=АD, ⇒ АК=КВ и т.К - середина АВ.
Действительно, если DK биссектриса, то углы АDК и СDК равны. Но угол СDК равен углу АКD как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых. Следовательно, треугольник DАК - равнобедренный. АD=АК.
На том же основании треугольник СВК равнобедренный и ВС=ВК.
Но ВС=АD, ⇒ АК=КВ и т.К - середина АВ.