Дана трапеция, в которую можно вписать окружность и около которой можно описать окружность. а) докажите, что проекция диагонали этой трапеции на большее основание равно боковой стороне. б) найдите расстояние меду центрами вписанной и описанной окружностей, если основания трапеции равны 3 и 27.

А) в равнобедренной трапеции высота из вершины меньшего основания b делит большее основание a на отрезки (a - b)/2 и (a + b)/2; это очень просто увидеть, если провести высоты из обеих вершин. Второй отрезок (больший) как раз и есть проекция диагонали на основание (меньший отрезок - это проекция боковой стороны на основание). Поскольку в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона c равна полусумме оснований. а) доказано.
б) Легко найти с = (27 + 3)/2 = 15; проекция c на a равна (27 - 3)/2 = 12; откуда высота трапеции 9; (получился египетский треугольник).
Кажется, что тут нужно искать значения радиусов (радиус вписанной окружности уже найден, он равен 9/2) и как-то с ними потом разбираться. Но всё куда проще.
Центры обеих окружностей лежат на прямой n, перпендикулярной основаниям и проходящей через их середины. При этом центр вписанной окружности лежит на средней линии.
Если через середину боковой стороны провести перпендикуляр, то он пересечет прямую n в центре описанной окружности. В силу очевидного подобия тут тоже получается египетский треугольник (его катеты - искомое расстояние и половина средней линии трапеции), и нужное расстояние равно (15/2)*12/9 = 10;