С4 в окружность вписан четырехугольник abcd, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке е. прямая, проходящая через точку е и перпендикулярная к ав, пересекает сторону cd в точке м. а) докажите, что ем – медиана треугольника ced. б) найдите ем, если ad = 8 , ab = 4 и угол cdb равен 60
Пусть EM пересекает AB в точке K.
Тогда
∠MED = ∠BEK;
∠BEK = ∠BAE; (стороны углов перпендикулярны)
∠BAE = ∠EDC; (вписанные углы, оба опираются на дугу CB)
=> ΔEMD - равнобедренный; EM = MD;
На гипотенузе прямоугольного ΔCED есть только одна точка, равноудаленная от вершины прямого угла и вершины острого - её середина.
а) доказано.
б) Если ∠CDB = 60°; то ∠EAB = 60°;
AE = AB*cos(60°) = 2;
ED^2 = AD^2 - AE^2 = 60; ED = √60;
Само собой, ED = EM, так как ΔEMD в данном случае равносторонний (все углы 60°);