Впрямоугольном треугольнике гипотенуза равна 4, а угол 30°. в этот треугольник вписан прямоугольник, у которого одна сторона в два раза больше другой. найдите площадь прямоугольника, если его большая сторона лежит на гипотенузе, а две вершины — на катетах.

Пусть   <C=90° ,  AB =4 ; <A=30° ; MEFN _прямоугольник , допустим  E∈ [AC] , F∈[BC] ,
MN=2ME. 

S(MEFN) --->?

обозначим   ME=NF =x ; MN=EF =2x , тогда  S(MEFN) = MN*ME =2x² . 
BC =AB/2 =4/2  =2( катет  против угла 30° )
AC =√(AB² - BC²) =√(4² -2²) =2√3 ;
Из  ΔAME:  AE =2x
Из ΔEFC : EC =x√3;
AE +  EC =AC
2x+ x√3 =2√3 ;
x(2+√3) =2√3;
x = 2√3/(2+√3) =2√3(2 -√3)  ;
S(MEFN) = 2x²  =2*(2√3(2 -√3))² =24(7 -4√3).

ответ : 24(7 -4√3).