Биссектрисы ам и вк равностороннего треугольника авс переекаются в точке о. докажите, что ао : ом = 2 : 1.

Надо начертить окружность внутри треугольника, где ОМ=ОК=радиусу окружности. начерченная окружность пересекает АО в точке N, где ОN=OM=радиусу окружности.
Доказываем, что треугольник NOK равносторонний. Биссектрисы равностороннего треугольника ABC делят углы пополам, т.е. по 30 градусов (углы BAO=OAK=30) и у оснований образуют 2 прямых угла (углы ВКА=ВКС=90 градусов, ВКС=ОКА=90). Угол АОК в прямоугольном треугольнике равен 60 градусам (180-ОАК-ОКА=60). Отсюда имеем равнобедренный треугольник NOK имеет равные стороны ON=OK=радиус окружности и угол между этими сторонами, равный 60 градусам. Т.к. углы у основания равнобедренного треугольника равны, то угол ONK=OKN=(180-60)/2=60. Это означает, что треугольник NOK равносторонний, т.е. NO=OK=NK=радиусу окружности.
Образовавшийся треугольник ANK равнобедренный. Угол АКВ=90, угол NKO=60, значит угол NKA=90-60=30. Угол NAK=1/2 BAK=60/2=30. Значит, углы NAK=NKA=30 градусам, т.е. у основания АК равны, и треугольник ANK равнобедренный, где AN=NK=радиусу окружности.
Из всего следует, что АО=AN+NO=R+R=2R (2 радиуса окружности), а ОМ= радиусу окружности. Значит, АО:ОМ=2:1.