Теперь найдем производную функции f(x) по x в точке x = pi/4.
Подставим x = pi/4 в выражение для f'(x):
f'(pi/4) = (-2sin(pi/4) + cos(pi/4))/((1 + cos(pi/4))^2)
= (-2(√2/2) + √2)/((1 + √2/2))^2
= (-√2 + √2)/((1 + √2/2))^2
= 0/((1 + √2/2))^2
= 0
Ответ: f'(pi/4) = 0.
2) Теперь рассмотрим вторую точку, x = pi/3. Снова применяем правило производной частного:
f'(x) = ((1 + cosx)*(-cosx) - (1 - sinx)*(-sinx))/((1 + cosx)^2)
Теперь найдем производную функции f(x) по x в точке x = pi/3.
Подставим x = pi/3 в выражение для f'(x):
f'(pi/3) = (-2sin(pi/3) + cos(pi/3))/((1 + cos(pi/3))^2)
= (-2(√3/2) + 1)/((1 + 1/2)^2)
= (-√3 + 1)/(3/2)^2
= (-√3 + 1)/(9/4)
= -4(√3 - 1)/9
Ответ: f'(pi/3) = -4(√3 - 1)/9.
Это пошаговое решение должно помочь школьнику понять, как получить ответ и обосновать его. Всегда важно помнить, что дифференцирование - это навык, который можно развить с практикой.
Для начала, нужно найти производную функции f(x) = (1 - sinx)/(1 + cosx).
Нам понадобятся два правила дифференцирования: правило производной частного и правило производной синуса и косинуса.
Правило производной частного гласит, что если у нас есть функции u(x) и v(x), то производная их частного равна (u'(x)*v(x) - v'(x)*u(x))/(v(x))^2.
Правило производной синуса и косинуса гласит, что производные sinx и cosx равны соответственно cosx и -sinx.
Теперь, давайте найдем производную функции f(x) = (1 - sinx)/(1 + cosx) и рассмотрим два конкретных значения x: pi/4 и pi/3.
1) Для этого применим правило производной частного:
f'(x) = ((1 + cosx)*(-cosx) - (1 - sinx)*(-sinx))/((1 + cosx)^2)
Упростим числитель и знаменатель:
= (-1 - cos^2x + cosx + cos^2x + sinx - sin^2x)/((1 + cosx)^2)
= (-2sinx + cosx)/((1 + cosx)^2)
Теперь найдем производную функции f(x) по x в точке x = pi/4.
Подставим x = pi/4 в выражение для f'(x):
f'(pi/4) = (-2sin(pi/4) + cos(pi/4))/((1 + cos(pi/4))^2)
= (-2(√2/2) + √2)/((1 + √2/2))^2
= (-√2 + √2)/((1 + √2/2))^2
= 0/((1 + √2/2))^2
= 0
Ответ: f'(pi/4) = 0.
2) Теперь рассмотрим вторую точку, x = pi/3. Снова применяем правило производной частного:
f'(x) = ((1 + cosx)*(-cosx) - (1 - sinx)*(-sinx))/((1 + cosx)^2)
Упростим числитель и знаменатель:
= (-1 - cos^2x + cosx + cos^2x + sinx - sin^2x)/((1 + cosx)^2)
= (-2sinx + cosx)/((1 + cosx)^2)
Теперь найдем производную функции f(x) по x в точке x = pi/3.
Подставим x = pi/3 в выражение для f'(x):
f'(pi/3) = (-2sin(pi/3) + cos(pi/3))/((1 + cos(pi/3))^2)
= (-2(√3/2) + 1)/((1 + 1/2)^2)
= (-√3 + 1)/(3/2)^2
= (-√3 + 1)/(9/4)
= -4(√3 - 1)/9
Ответ: f'(pi/3) = -4(√3 - 1)/9.
Это пошаговое решение должно помочь школьнику понять, как получить ответ и обосновать его. Всегда важно помнить, что дифференцирование - это навык, который можно развить с практикой.