Если стороны треугольника обозначить а, b, с, его пощадь S, а диаметры вписанной и описанной окружностей d и D соответственно, то d=4S/(a+b+c), D=abc/(2S). (из формул для радиусов вписанной и описанной окружности из учебника) Потому произведение диаметров равно dD=2abc/(a+b+c). Осталось доказать, что 2c/(a+b+c)<1, или, что то же самое 2c<a+b+c, т.е. c<a+b, но это неравенство треугольника, и оно всегда выполняется. Отсюда dD<ab.
d=4S/(a+b+c),
D=abc/(2S).
(из формул для радиусов вписанной и описанной окружности из учебника)
Потому произведение диаметров равно dD=2abc/(a+b+c). Осталось доказать, что 2c/(a+b+c)<1, или, что то же самое 2c<a+b+c, т.е. c<a+b, но это неравенство треугольника, и оно всегда выполняется. Отсюда dD<ab.