Аня нарисовала квадрат abcd. затем она построила - вопрос №3460348 от marmurinajulia 23.09.2020 03:13

Question

Геометрия: Аня нарисовала квадрат abcd. затем она построила равносторонний треугольник abm так, что вершина m оказалась внутри квадрата. диагональ ac пересекает треугольник в точке k. докажите, что ck = cm.

marmurinajulia · Answer

Очевидно что вершина

будет симметрична относительно сторона AD;BC

, и будет лежать на одной прямой с точкой пересечения диагоналей. Положим что сторона квадрата равна

.
Так как треугольник ABM

- равносторонний , следует что MBC=90а-60а=30а

, $BCK= \frac{90а}{2}=45а$ .
AM=BM=x

$BK=x*\frac{sin45а}{sin(180а-45а-30а)}=(\sqrt{3}-1)x$
Тогда $MK=x-BK=x(2-\sqrt{3})$
$BH=\frac{2x}{\sqrt{3}}\\
HC=\frac{x}{\sqrt{3}}$
то есть $HM=BH-x=\frac{x(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}$
откуда $CM=\sqrt{2-\sqrt{3}}x$

Теперь положим что CK=CM

верно , тогда должно выполнятся условие KCM+MCH=45а

найдем эти углы
по теореме косинусов подставим известные величины
$MK^2=2CK^2-2CK^2*cosKCM\\
HM^2=CK^2+HC^2-2*CK*HC*cosMCH$
откуда

$KCM+MCH=arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+arccos(\frac{1}{2*\sqrt{2-\sqrt{3}}}) =30а+15а=45а
 
 
$
то есть условия выполняются , то есть наше изначальное предположение было верно
CK=CM