Втреугольнике abc ab=bc. на медиане be отмечена точка m, а на сторонах ab и bc - точки p и k соответственно. (точки p, m и k не лежат на одной прямой.) известно, что угол bmp=углу bmk. докажите, что а) угол bpm=углу bkm; б) прямые pk и bm взаимно перпендикулярны.

По условию АВ=ВС, значит треугольник АВС равнобедренный. Медиана ВЕ в равнобедренном треугольнике проведена к основанию (АЕ=СЕ), значит она является и биссектрисой (<АВЕ=<СВЕ), и высотой. Рассмотрим треугольники РВМ и КВМ - они равны по 2 признаку: сторона ВМ общая, <РВЕ=КВЕ (ВЕ-биссектриса) и <ВМР=<ВМК. Следовательно в равных треугольниках равны и углы <ВРМ=< ВКМ, и стороны МР=МК. Исходя из этого, если рассмотреть треугольник РМК - он равнобедренный, МВ пересекается с основанием РК, также МВ является биссектрисой (<ВМР=<ВМК), значит она является и высотой ( РК и ВМ перпендикулярны)