Пусть в трапеции ABCD BC=6, AB=CD=25, AC=BD=29. Вычислим площадь треугольника ABC, зная 3 его стороны. Это можно сделать по формуле Герона: S = √p(p - a)(p - b)(p - c), где p=(a+b+c)/2 - периметр треугольника. Подставив p=(29+25+6)/2=30, a=29, b=25, c=6, получим S = √30(30 - 29)(30 - 25)(30 - 6)=√30*1*5*24=√30*120=√3600=60.
Площадь треугольника ABC равна 60, а сторона BC равна 6, значит, высота AH, проведённая из вершины A, равна 60*2/6=20 (воспользуемся формулой S=1/2*a*h, из которой h=2S/a). Так как AD||BC, AH - это расстояние от точки A до прямой BC. Проведём в исходной трапеции высоту BE, тогда BE - это расстояние от точки B до прямой AD. Так как прямые параллельны, AH=BE, тогда высота трапеции BE равна 20.
Проведём высоту CF из вершины C. Четырехугольник BCFE является прямоугольником, тогда EF=BC=6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. В нём гипотенуза AB равна 25, а катет BE равен 20. По теореме Пифагора найдём катет AE - AE=√25²-20²=√625-400=√225=15. Треугольники ABE и CDF равны по катету и гипотенузе (AB=CD; BE=CF), тогда FD=AE=15.
Основание трапеции AD равно AE+EF+FD. Так как AE=FD=15, EF=6, AD=15+6+15=36. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, S=(36+6)/2*20=21*20=420см²
Площадь треугольника ABC равна 60, а сторона BC равна 6, значит, высота AH, проведённая из вершины A, равна 60*2/6=20 (воспользуемся формулой S=1/2*a*h, из которой h=2S/a). Так как AD||BC, AH - это расстояние от точки A до прямой BC. Проведём в исходной трапеции высоту BE, тогда BE - это расстояние от точки B до прямой AD. Так как прямые параллельны, AH=BE, тогда высота трапеции BE равна 20.
Проведём высоту CF из вершины C. Четырехугольник BCFE является прямоугольником, тогда EF=BC=6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. В нём гипотенуза AB равна 25, а катет BE равен 20. По теореме Пифагора найдём катет AE - AE=√25²-20²=√625-400=√225=15. Треугольники ABE и CDF равны по катету и гипотенузе (AB=CD; BE=CF), тогда FD=AE=15.
Основание трапеции AD равно AE+EF+FD. Так как AE=FD=15, EF=6, AD=15+6+15=36. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, S=(36+6)/2*20=21*20=420см²