Из точки a проведены две прямые, касающиеся окружности - вопрос №3378038 от аsiyt09 15.05.2023 03:25

Question

Геометрия: Из точки a проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса r в точках c и b, причём треугольник abc — равносторонний. найдите его площадь.

аsiyt09 · Answer

Так как треугольник АВС равносторонний, то все его углы равны по 60 градусов. Так как АВ и АС - касательные к окружности, и радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной, то углы ОВА и ОСА - прямые. Следовательно, углы СВА=ВСА=ОВА-СВА=90-60=30. Тогда, угол О=180-(2*30)=120.
По теореме косинусов находим сторону равностороннего треугольника:
$BC^2=OB^2+OC^2-2OB\cdot OC\cdot\cos \alpha 
\\\
BC^2=R^2+R^2-2R^2\cos120=3R^2
\\\
BC=R \sqrt{3}$
По формуле площади равностороннего треугольника, находим искомую площадь:
$S= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} = \frac{(R \sqrt{3}) ^2 \sqrt{3} }{4} = \frac{3R^2 \sqrt{3} }{4}$
ответ: $\frac{3R^2 \sqrt{3} }{4}$
Из точки a проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса r в точках c и b, причём треугольник

Из точки a проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса r в точках c и b, причём треугольник