Центр описанной около треугольника окружности симметричен центру вписанной в него окружности относительно одной из сторон.найдите углы треугольника.решите

сделаем построение по условию

центры окружностей O и О1 -симметричны относительно стороны АС

значит (ОО1) перпендикулярна (АС)

треугольник АВС - равнобедренный |AB| = |BC| -иначе не будет выполняться условие симметричности ЦЕНТРОВ окружностей

обозначим <BAC=<BCA=<a - это вписанные углы 

По теореме о вписанном угле - ОНИ опирается на дуги, которые в ДВА раза больше их.

Дуга ˘ВС=˘AВ=2a

проведем прямые (AO1) и (AO)

точки ИХ пересечения с описанной окружностью т.С1 и т.С2

треугольник ОАО1 - равнобедренный , прямая (AC) - биссектриса <C1AC2

значит  <C1AC=<C2AC=<a/2 - это вписанные углы 

По теореме о вписанном угле - ОНИ опирается на дуги, которые в ДВА раза больше их.

Дуга ˘СС1=˘СС2=a

Прямая (АС2)  проходит через центр описанной окружности |AC2| - диаметр

Угол <AOC2 - центральный , развернутый (180 град) -опирается на дугу ˘АС2=180 град.

Дуга ˘АС2 состоит из частей  ˘АС2=˘AВ+˘ВС+˘СС2=2a+2a+a=5a=180 , тогда а=180/5=36 град.

<A=<C=<a=36 град

<B=180-<A-<C=180-2*36=108 град

ОТВЕТ углы треугольника 36; 36; 108