.(14) в треугольнике abc проведена медиана bb1.докажите, что bb1< (ab+bc)/2).

Проведем СД параллельно АВ и той же длины и продлим ВВ1 на такое же расстояние. АВСД - параллелограмм (противоположные стороны параллельны и равны), ВД - его диагональ.

Согласно правилу треугольника  ВД < ВС + СД = АВ + ВС и соответственно

ВВ1 = ВД / 2 < (AB + BC) / 2

Достроив тр-к до параллелограмма, где ВВ1 - половина диагонали, убедимся что сумма смежных сторон параллелограмма больше диагонали, равной удвоенной медиане, так как ломаная всегда больше прямой:

АВ + ВС >2BB1

(AB+BC)/2 >BB1   что и требовалось доказать.