Диагонали равнобокой трапеции abcd пересекаются под прямым углом. bh –высота к большему основанию cd, ef – средняя линия трапеции.а) докажите, что bh = dh; б) найдите площадь трапеции, если ef = 5.
А. 1) Проведём BM параллельно АС, продолжим DC, DC пересекается с ВМ в точке М. 2) BD перпендикулярно АС, ВМ параллельно АС, то ВМ перпендикулярно BD. 3) Рассмотрим треугольник BDM: ВМ перпендикулярно BD, то тр. BDM - прямоугольный. АС=ВМ (как стороны параллелограмма АВМС), то тр. BDM - равнобедренный. ВН - высота, а, значит, и медиана, тогда DH=HM. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, следовательно, ВН = DM:2 = DH, ч.т.д.
Б. 1) Проведём высоту АН1: АВ=Н1Н, DH1=НС. 2) АВ = DC - DH1 - HC = DH - HC; DC = DH + HC; EF = (AB+DC):2=(DH-HC+DH+HC):2=DH. DH=BH, то EF=BH=5. 3) S=(AB=DC):2 * BH=EF*EF=5*5=25. ответ: 25.
2) BD перпендикулярно АС, ВМ параллельно АС, то ВМ перпендикулярно BD.
3) Рассмотрим треугольник BDM: ВМ перпендикулярно BD, то тр. BDM - прямоугольный. АС=ВМ (как стороны параллелограмма АВМС), то тр. BDM - равнобедренный. ВН - высота, а, значит, и медиана, тогда DH=HM. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, следовательно, ВН = DM:2 = DH, ч.т.д.
Б. 1) Проведём высоту АН1: АВ=Н1Н, DH1=НС.
2) АВ = DC - DH1 - HC = DH - HC; DC = DH + HC; EF = (AB+DC):2=(DH-HC+DH+HC):2=DH.
DH=BH, то EF=BH=5.
3) S=(AB=DC):2 * BH=EF*EF=5*5=25.
ответ: 25.