Ось симметрии прямоугольника abcd пересекает его стороны bc и ad в точках m и k соответственно.на стороне ab взята точка p,на стороне cd-точка t,причём pm||kt,pm=pk.a)определите вид выпуклого четырёхугольника pmtk.б)докажите что расстояние от точки пересечения диагоналей четырёхугольника pmtk до точки c равно pk.

  МК - ось симметрии, ⇒ все точки АВ и СD находятся от неё на равном расстоянии. ВМ=СМ=АК=DK.

а) Диагонали  прямоугольника АС=ВD   и точкой пересечения О делятся пополам ( свойство диагоналей прямоугольника).

Отрезки  ВМ=АК, а РМ=РК по условию⇒  ∆ МВР = ∆ КАР  по катету и гипотенузе.  ВР=АР, а ∆ МРК - равнобедренный, МО=ОК. В ∆ АВС. отрезок РМ - средняя линия и параллелен диагонали АС. В ∆ АСD АК=КD, КТ║РМ по условию. Если одна из двух  параллельных прямых параллельна третьей, то и вторая ей параллельна. ⇒  КТ║АС – средняя линия ∆ ADC. КТ=АС:2=РМ.  Так как  КТ - средняя линия ∆ АСD, то, точка Т - середина СD, из чего следует МТ - средняя линия ∆ ВСD.  МТ и РК равны половине ВD, следовательно, равны между собой. Стороны четырехугольника КРМТ равны, следовательно, РМТК - ромб.

б) Вершины РМТК - середины сторон прямоугольника, его диагонали РТ и МК пересекаются под прямым углом и делят исходный прямоугольник на четыре равных меньшего размера. Диагонали этих меньших прямоугольников равны. ⇒ РК=АО=ОС, что и требовалось доказать.