На сторонах ab,bc,cd,da четырёхугольника abcd отмечены соответственно точки m,n,p,q так,что am=cp, bn=dq, bm=dp, nc=qa. докажите,что abcd и mnpq .

Заметим, что AB=AM+BM, CD=CP+DP, BC=BN+CN, AD=AQ+DQ.

По условию, AM=CP, BM=DP, тогда AB=CD. Также BN=DQ, CN=AQ, тогда BC=AD. Противоположные стороны четырехугольника ABCD попарно равны, тогда этот четырехугольник - параллелограмм.

В параллелограмме противоположные углы попарно равны. Рассмотрим треугольники AMQ и CNP. Они равны по 2 сторонам и углу между ними. Тогда MQ=NP. Аналогично, треугольники BMN и OPQ равны по 2 сторонам и углу между ними, тогда MN=PQ. В четырехугольнике MNPQ противоположные стороны попарно равны, тогда этот четырехугольник также является параллелограммом.