Пусть О точка пересечения медиан AM, BN, CK и пусть AO = k*AM (если докажем, что k =2/3, то это и будет означать, что AO = 2 OM) поскольку для каждой медианы те же рассуждения можно провести, то соотношение везде одинаково. (кроме того, OM = (1-k)AM, OK = (1-k)CK)
Запишем равенство векторов: AO+OK= AK = (AB)/2
kAM +(1-k)CK = AB/2
но AM = (AB+AC)/2, а CK = (CA+CB)/2
подставим: k*AB/2 + k*AC/2 +(1-k)*CA/2 + (1-k)CB/2= AB/2 (умножим равенство на 2 и раскроем скобки)
kAB + kAC +CA - kCA +CB -kCB = AB воспользуемся тем, что CB = AB-AC kAB + kAC + CA -kCA +AB-AC -kAB +kAC = AB
AB сократится, останется kAC + CA -kCA-AC +kAC = 0. AC ненулевой вектор, значит коэффициент должен равняться 0 (заменим CA на (-AC)), получим
и пусть AO = k*AM (если докажем, что k =2/3, то это и будет означать, что AO = 2 OM)
поскольку для каждой медианы те же рассуждения можно провести, то соотношение везде одинаково. (кроме того, OM = (1-k)AM, OK = (1-k)CK)
Запишем равенство векторов: AO+OK= AK = (AB)/2
kAM +(1-k)CK = AB/2
но AM = (AB+AC)/2, а CK = (CA+CB)/2
подставим:
k*AB/2 + k*AC/2 +(1-k)*CA/2 + (1-k)CB/2= AB/2 (умножим равенство на 2 и раскроем скобки)
kAB + kAC +CA - kCA +CB -kCB = AB
воспользуемся тем, что CB = AB-AC
kAB + kAC + CA -kCA +AB-AC -kAB +kAC = AB
AB сократится, останется
kAC + CA -kCA-AC +kAC = 0. AC ненулевой вектор, значит коэффициент должен равняться 0
(заменим CA на (-AC)), получим
3kAC -2 AC = 0
то есть, 3k =2, k =2/3