Впрямоугольном треугольнике авс с прямым углом с,углом в,равным 30 градусов и катетом са=1 проведена медиана сd.кроме того,из точки d под углом 15 градусов к гипотенузе, проведена прямая,пересекающая отрезок вс в точке f.найти площадь треугольника cdf.
найдем гипотенузу АВ=АС :cos A=1: 1/2=2
катет ВС=√АВ²-АС²=√4-1=√3
Т.к. СD - медиана, то АD=DB=AB/2=2/2=1
2) Рассмотрим Δ ADC, в нем AC=AD=1, значит он равнобедренный и углы при основании равны: <ACD=<ADC=(180-<CAD)/2=(180-60)/2=60.
Все 3 угла равны по 60 градусов, значит Δ ADC -равносторонний AC=AD=DC=1
3) Рассмотрим Δ СDВ, в нем CD=DB=1, <DCB=<DBC=30,
тогда <CDB=180-30-30=120.
4) Рассмотрим Δ СDF, в нем <CDF=120-<BDF=120-15=105.
<CFD=180-<DCB-<CDF=180-30-105=45.
По теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, значит
CD/sin 45 =DF/sin 30=CF/sin 105
DF=CD*sin 30/sin 45=1*1/2 / (√2/2)=1/√2
Площадь ΔCDF S=1/2*СD*DА*sin 105=1/2*1*1/√2*(√6+√2)/4=(√3+1)/8
sin 105=sin(60+45)=sin60cos45+cos60sin45=√3/2*√2/2+1/2*√2/2=(√6+√2)/4