Доказать, что если квадраты стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию , то треугольник, сторонами которого служат медианы данного, подобен данному треугольнику.

Пусть  стороны треугольника  a,с,b  тогда  по  характеристическому свойству:
a^2+b^2=2c^2  выразим так же:  
По  формулам   медиан:
4m1^2=2a^2+2b^2-c^2
4m2^2=2a^2+2c^2-b^2
4m3^2=2b^2+2c^2-a^2
1) 4m1^2=3c^2    m1/c=√3/2 
2)  поделим в нашем уравнении  каждое слагаемое на a^2
1+b^2/a^2=2c^2/a^2   2c^2/a^2-b^2/a^2=1
и во 2  уравнении
4m2^2/a^2=2+2c^2/a^2-b^2/a^2=3
m2/a=√3/2
3) Поделим  в нашем уравнении на b^2
a^2/b^2+1=2c^2/b^2      2c^2/b^2-a^2/b^2=1
И в 3  уравнении
4m3^2/b^2=2+2c^2/b^2-a^2/b^2=3
m3/b=√3/2
Откуда:  m1/c=m2/a=m3/b=√3/2
А  значит  эти  треугольники  подобны  по  3 пропорциональным  сторонам.
ЧТД