Окружность касается сторон ab, bc, cd и da четырехугольника abcd соответственно в точках a1, b1, c1 и d1. найти его стороны, если известно, что отрезки a1c1 и b1d1 перпендикулярны, причем aa1=18, cb1=32, а a1b: d1d=4: 1

Тут вся хитрость в том, что угол между хордами равен полусумме дуг между концами хорд. То есть полусумма дуг A1D1 и B1C1 равна 90°; это означает, что
∠A1OD1 + ∠B1OC1 = 180°; 
Все четырехугольники типа AA1OD1 имеют два прямых угла, поэтому 
∠BAD = 180° - ∠A1OD1; ∠BCD = 180° - ∠B1OC1; 
легко видеть, что получилось ∠BAD + ∠BCD = 180°; 
то есть ABCD - не только описанный, но и вписанный четырехугольник.
Все отрезки типа AO (то есть соединяющие центр вписанной окружности с вершинами) - биссектрисы соответствующих углов. Поэтому
∠A1AO + ∠B1CO = 90°;
из чего следует, что прямоугольные треугольники AA1O и B1OC - подобны.
Я на чертеже отметил равные углы. ∠BOC = ∠A1AO; 
Точно также получается, что подобны треугольники OBB1 и ODD1; и 
∠DOC1 = ∠B1BO;
Из этого подобия получается два соотношения
B1C/B1O = A1O/A1A; то есть 32/R = R/18; или R = 24;
BB1/OB1 = OC1/C1D; или 4*x/R = R/x; 2*x = R; x = 12;
Отсюда стороны ABCD равны
AB = 18 + 4*12 = 66;
BC = 32 + 4*12 = 80;
CD = 32 + 12 = 44;
AD = 18 + 12 = 30;