Втреугольнике со стороной а и опущенной на эту сторону высотой h вписан паралеллограм так что, одна сторона его лежит на стороне а треугольника. как выбрать эту сторону параллелограмма, чтобы его площадь была наибьльшей?

Пусть сторона параллелограмма, лежащая на стороне треугольника a, равна b.
Тогда параллельная ей сторона параллелограмма отсекает от треугольника подобный ему треугольник со стороной b и высотой h1 = h*b/a;
Площадь отсеченного треугольника равна (a*h/2)*(b/a)^2 = b^2*(h/2a); 
Есть еще два треугольника "по бокам" параллелограмма,
у которых высоты равны h - h1, а сумма сторон, которые лежат на a, равна a - b;
Суммарная их площадь равна (a - b)*(h - h1)/2 = (a - b)*h*(1 - b/a)/2 = (a - b)^2*(h/2a);
Всего суммарная площадь треугольников "за пределами" параллелограмма равна
S' = ((a - b)^2 + b^2)*(h/2a);
Для того, чтобы площадь параллелограмма была наибольшей, эта суммарная площадь должна быть наименьшей. Найти минимум параболы S'(b) очень простo, достаточно выделить полный квадрат. Но поскольку выражение (a - b)^2 + b^2 симметрично относительно b = a/2, и имеет только один минимум, это и есть ответ (то есть тут случай, когда "сразу видно").
Он не зависит от h.